Racionalización Parte 2 (¡Venciendo a los Binomios!) 💪

Ya sabes quitar una raíz simple del denominador. Pero, ¿qué pasa si abajo hay una suma o una resta, como √5 + √2? ¡Hay un truco genial para eso también!

El Truco del "Compañero Conjugado" 🤝

Para eliminar un denominador con dos términos, lo multiplicaremos por su conjugado. El conjugado es casi el mismo binomio, pero con el signo de en medio cambiado.

  • El conjugado de (√a + √b) es (√a – √b).
  • El conjugado de (√a – √b) es (√a + √b).

¿Por qué funciona? Porque al multiplicarlos, creamos una "diferencia de cuadrados" `(x+y)(x-y) = x² - y²`, que elimina las raíces al instante: (√a)² – (√b)² = a – b. ¡Magia!

Ejemplo a): 2 / (√5 + √2)

  1. Identificamos el conjugado: El conjugado de (√5 + √2) es (√5 – √2).
  2. Multiplicamos por el "uno mágico": [2 / (√5 + √2)] × [(√5 – √2) / (√5 – √2)].
  3. Resolvemos lo de arriba: 2 × (√5 – √2) = 2√5 – 2√2.
  4. Resolvemos lo de abajo: (√5)² – (√2)² = 5 – 2 = 3.

Resultado final: (2√5 – 2√2) / 3

Ejemplo b): √3 / (√7 – 2)

  1. Identificamos el conjugado: El conjugado de (√7 – 2) es (√7 + 2).
  2. Multiplicamos: [√3 / (√7 – 2)] × [(√7 + 2) / (√7 + 2)].
  3. Resolvemos lo de arriba: √3 × (√7 + 2) = √21 + 2√3.
  4. Resolvemos lo de abajo: (√7)² – (2)² = 7 – 4 = 3.

Resultado final: (√21 + 2√3) / 3

¡Ahora es tu turno! 🚀

a) 1 / (√6 + √2)

Procedimiento:

  1. El conjugado es (√6 – √2). Multiplica arriba y abajo por él.
  2. Arriba te queda 1 × (√6 – √2).
  3. Abajo te queda (√6)² – (√2)² = 6 – 2 = 4.

b) 2 / (√7 – √5)

Procedimiento:

  1. El conjugado es (√7 + √5).
  2. Arriba queda 2(√7 + √5).
  3. Abajo queda (√7)² – (√5)² = 7 – 5 = 2.
  4. ¡Puedes cancelar el 2 de arriba con el 2 de abajo!

c) √3 / (√12 + √6)

Procedimiento:

  1. ¡Simplifica primero! √12 = 2√3. La fracción es √3 / (2√3 + √6).
  2. El conjugado es (2√3 – √6).
  3. Arriba: √3(2√3 – √6) = 2(√9) – √18 = 6 – 3√2.
  4. Abajo: (2√3)² – (√6)² = (4×3) – 6 = 12 – 6 = 6.
  5. La fracción es (6 – 3√2) / 6. Puedes simplificarla dividiendo todo entre 3.

d) √6 / (√11 – √10)

Procedimiento:

  1. El conjugado es (√11 + √10).
  2. Arriba: √6(√11 + √10) = √66 + √60.
  3. Abajo: (√11)² – (√10)² = 11 – 10 = 1.
  4. ¡El denominador 1 desaparece! Solo simplifica √60 = 2√15.

e) (√3 + √2) / (√8 + √6)

Procedimiento:

  1. Simplifica abajo: √8 = 2√2. El denominador es (2√2 + √6).
  2. El conjugado es (2√2 – √6).
  3. Abajo: (2√2)² – (√6)² = 8 – 6 = 2.
  4. Arriba (usa FOIL): (√3 + √2)(2√2 – √6) = 2√6 – √18 + 4 – √12.
  5. Simplifica las raíces: 2√6 – 3√2 + 4 – 2√3.

f) (√15 + √5) / (√15 – √5)

Procedimiento:

  1. El conjugado es (√15 + √5).
  2. Abajo: 15 – 5 = 10.
  3. Arriba (FOIL): (√15 + √5)(√15 + √5) = 15 + √75 + √75 + 5 = 20 + 2√75.
  4. Simplifica √75 = 5√3. Arriba queda 20 + 2(5√3) = 20 + 10√3.
  5. La fracción es (20 + 10√3) / 10. Divide todo entre 10.

g) 4 / (√10 + 3)

Procedimiento:

  1. El conjugado es (√10 – 3).
  2. Abajo: (√10)² – 3² = 10 – 9 = 1.
  3. Arriba: 4(√10 – 3). ¡El denominador 1 no se escribe!

h) (√14 + 2) / (1 – √7)

Procedimiento:

  1. El conjugado es (1 + √7).
  2. Abajo: 1² – (√7)² = 1 – 7 = -6.
  3. Arriba (FOIL): (√14 + 2)(1 + √7) = √14 + √98 + 2 + 2√7.
  4. Simplifica √98 = 7√2.
  5. Junta todo y ponlo sobre el -6.