Racionalización (¡Adiós a las Raíces de Abajo!) 😎

En matemáticas, dejar una raíz cuadrada en el denominador es algo que evitamos. El proceso para quitarla se llama racionalizar, y aquí te enseñamos los trucos para hacerlo.

El Truco del "Uno Mágico" ✨

Para quitar una raíz de abajo (por ejemplo, √a), vamos a multiplicar la fracción por un "uno mágico": √a / √a.

¿Por qué funciona? Porque al multiplicar el denominador √a × √a, obtenemos a, ¡y la raíz desaparece sin cambiar el valor de la fracción!

Ejemplo a): 3 / √6

  1. Multiplicamos por el "uno mágico": (3 / √6) × (√6 / √6).
  2. Resolvemos: Arriba queda 3√6. Abajo queda √6 × √6 = 6. La fracción ahora es 3√6 / 6.
  3. Simplificamos: La fracción 3/6 se simplifica a 1/2.

Resultado final: √6 / 2

Ejemplo b): 2 / √20

Un truco extra: ¡Siempre revisa si puedes simplificar la raíz ANTES de racionalizar!

  1. Simplificamos primero: √20 = √(4 × 5) = 2√5. La fracción se convierte en 2 / (2√5).
  2. Cancelamos: El 2 de arriba y el 2 de afuera de la raíz se cancelan. ¡Nos queda 1 / √5!
  3. Racionalizamos: Multiplicamos por (√5 / √5) para obtener (1 × √5) / (√5 × √5).

Resultado final: √5 / 5

¡Ahora es tu turno! 🚀

1. Racionaliza las siguientes fracciones:

a) 5 / √5

Procedimiento:

  1. Multiplica por (√5 / √5).
  2. Obtienes 5√5 / 5.
  3. Los 5 se cancelan.

b) 7 / √14

Procedimiento:

  1. Multiplica por (√14 / √14).
  2. Obtienes 7√14 / 14.
  3. Simplifica la fracción 7/14.

c) 3 / √15

Procedimiento:

  1. Multiplica por (√15 / √15).
  2. Obtienes 3√15 / 15.
  3. Simplifica la fracción 3/15.

d) 4 / √8

Procedimiento:

  1. ¡Simplifica primero! √8 = 2√2.
  2. La fracción es 4 / (2√2), que se simplifica a 2 / √2.
  3. Ahora racionaliza multiplicando por (√2 / √2).

e) 6 / √18

Procedimiento:

  1. Simplifica el denominador: √18 = 3√2.
  2. La fracción es 6 / (3√2), que se simplifica a 2 / √2.
  3. Racionaliza.

f) √6 / √12

Procedimiento:

  1. Junta todo en una raíz: √(6/12).
  2. Simplifica la fracción: √(1/2).
  3. Separa las raíces: 1 / √2.
  4. Racionaliza.

g) √12 / √10

Procedimiento:

  1. Junta en una raíz: √(12/10).
  2. Simplifica la fracción: √(6/5).
  3. Separa: √6 / √5.
  4. Racionaliza multiplicando por (√5 / √5).

h) √15 / √72

Procedimiento:

  1. Simplifica el de abajo: √72 = 6√2.
  2. La fracción es √15 / (6√2).
  3. Racionaliza multiplicando por (√2 / √2).

2. Racionaliza y determina cuáles son iguales:

a) 2 / √10

Procedimiento:

  1. Multiplica por (√10 / √10).
  2. Obtienes 2√10 / 10.
  3. Simplifica la fracción 2/10.

b) √27 / √21

Procedimiento:

  1. Simplifica la raíz de arriba: √27 = 3√3.
  2. La fracción es 3√3 / √21.
  3. Racionaliza multiplicando por (√21 / √21).
  4. Obtienes 3√63 / 21.
  5. Simplifica √63 = 3√7. Tienes 3(3√7) / 21 = 9√7 / 21.
  6. Simplifica la fracción 9/21.

c) √5 / √2

Procedimiento:

  1. Multiplica por el "uno mágico" (√2 / √2).

d) 3 / √7

Procedimiento:

  1. Multiplica por (√7 / √7).

e) √35 / √21

Procedimiento:

  1. Junta en una raíz: √(35/21).
  2. Simplifica la fracción (divide entre 7): √(5/3).
  3. Separa las raíces: √5 / √3.
  4. Racionaliza.

f) √3 / √7

Procedimiento:

  1. Multiplica por (√7 / √7).

g) √2 / √5

Procedimiento:

  1. Multiplica por (√5 / √5).

h) 3√7 / 7√3

Procedimiento:

  1. La raíz a quitar es √3, así que multiplica por (√3 / √3).
  2. Arriba queda 3√21. Abajo queda 7×3 = 21.
  3. La fracción es 3√21 / 21. Simplifica 3/21.

🔍 Compara tus respuestas

Ahora que resolviste todos los ejercicios de la parte 2, ¿cuáles te dieron el mismo resultado?

Deberías haber encontrado que los siguientes pares son iguales:

  • Los ejercicios a) y g) son iguales.
  • Los ejercicios b) y d) son iguales.
  • Los ejercicios f) y h) son iguales.