Operaciones Combinadas con Raíces 🤓

Ahora vamos a combinar multiplicación con sumas y restas. Para esto, usamos la famosa propiedad distributiva. ¡Mira estos ejemplos para que veas qué fácil es!

Ejemplo 1: √2(√6 + √10)

El truco: El término de afuera (√2) multiplica a CADA TÉRMINO de adentro del paréntesis.

  1. Distribuimos: (√2 × √6) + (√2 × √10).
  2. Multiplicamos: √12 + √20.
  3. Simplificamos: √12 se convierte en 2√3 y √20 en 2√5.

Resultado final: 2√3 + 2√5

Ejemplo 2: (√2 + √15)(√5 – √6)

El truco: Usamos el método **FOIL**, donde cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo.

  1. Multiplicamos término a término: (√2×√5) + (√2×(-√6)) + (√15×√5) + (√15×(-√6)).
  2. Resolvemos: √10 – √12 + √75 – √90.
  3. Simplificamos cada raíz: Esto nos da √10 – 2√3 + 5√3 – 3√10.
  4. Agrupamos términos semejantes: Juntamos las raíces de 10 y las raíces de 3.

Resultado final: -2√10 + 3√3

¡Ahora es tu turno! 🚀

a) √2(√14 + √5)

Procedimiento:

  1. Aplica la propiedad distributiva: el √2 multiplica al √14 y luego al √5.
  2. Obtienes √28 + √10.
  3. Simplifica la primera raíz: √28 = √(4 × 7) = 2√7. La otra raíz ya no se puede simplificar.

b) √6(√3 – √8)

Procedimiento:

  1. Distribuye el √6. Obtienes √18 – √48.
  2. Simplifica cada raíz: √18 = √(9×2) = 3√2 y √48 = √(16×3) = 4√3.

c) √5(4√10 + 7√15)

Procedimiento:

  1. Distribuye el √5. Te quedará 4√50 + 7√75.
  2. Simplifica las raíces: √50 = 5√2 y √75 = 5√3.
  3. Multiplica los números que "escaparon": 4(5√2) + 7(5√3).

d) (2 – √18)(2 + √18)

Procedimiento:

  1. ¡Atajo! Esto es una "diferencia de cuadrados": (a – b)(a + b) = a² – b².
  2. Aplica la fórmula: (2)² – (√18)².
  3. Resuelve los cuadrados: 4 – 18.

e) (√2 + √3)²

Procedimiento:

  1. ¡Cuidado! No es solo elevar cada uno al cuadrado. Usa la fórmula: (a + b)² = a² + 2ab + b².
  2. Aplica la fórmula: (√2)² + 2(√2)(√3) + (√3)².
  3. Resuelve: 2 + 2√6 + 3 y suma los números enteros.

f) (√8 – √6)²

Procedimiento:

  1. Usa la fórmula con resta: (a – b)² = a² – 2ab + b².
  2. Aplica la fórmula: (√8)² – 2(√8)(√6) + (√6)².
  3. Resuelve: 8 – 2√48 + 6.
  4. Junta los enteros y simplifica la raíz: 14 – 2√(16×3).

g) (√5 + √12)(√10 + √24)

Procedimiento:

  1. Simplifica primero dentro de los paréntesis: √12 = 2√3 y √24 = 2√6. La operación se convierte en (√5 + 2√3)(√10 + 2√6).
  2. Aplica FOIL (multiplica los 4 términos).
  3. Simplifica los resultados y agrupa los términos semejantes.

h) (√7 – √5)(√21 – √15)

Procedimiento:

  1. Aplica el método FOIL. Obtendrás √147 – √105 – √105 + √75.
  2. Simplifica las raíces más grandes: √147 = √(49×3) = 7√3 y √75 = √(25×3) = 5√3.
  3. Agrupa los términos semejantes.

i) (√12 – 4)(√6 + 9)

Procedimiento:

  1. Primero, simplifica el √12. Te queda (2√3 – 4)(√6 + 9).
  2. Usa FOIL: (2√3×√6) + (2√3×9) – (4×√6) – (4×9).
  3. Resuelve y simplifica: 2√18 + 18√3 – 4√6 – 36. ¡No olvides simplificar el 2√18!