Superestrellas de los Números: 'e' y 'Φ' (phi) ⭐

Hay números que son como celebridades en el mundo de las matemáticas. Hoy conoceremos a dos de los más importantes: el número neperiano 'e' y el número áureo 'Φ' (phi). ¡Ambos son irracionales y aparecen en los lugares más inesperados!

El Número Neperiano (e) ≈ 2.71828...

El número 'e' es súper importante en temas de crecimiento, como en biología o finanzas. Es un número con infinitos decimales que no se repiten.

Una forma de "acercarse" a su valor es con esta expresión: (1 + 1/n)ⁿ. La idea es que mientras más grande sea el número 'n' que uses, más te acercas al verdadero valor de 'e'.

Mira cómo funciona:

  • Si n = 1, el resultado es 2.
  • Si n = 1000, el resultado es 2.71692...
  • Si n = 100000, el resultado es 2.71826...

¡Cada vez más cerca de 2.71828...!

El Número Áureo (Φ) ≈ 1.61803...

El número 'Φ' (phi) es conocido como la "proporción divina" o "proporción áurea". Se dice que contiene el secreto de la belleza y la armonía, y por eso aparece en obras de arte famosas, en la naturaleza y hasta en la música.

Nace de una idea muy simple: si divides un segmento en dos partes (una larga 'a' y una corta 'b'), la proporción áurea se cumple si "el total (a+b) es a la parte larga (a) como la parte larga (a) es a la corta (b)".

Al resolver esto matemáticamente, se llega a la ecuación Φ² – Φ – 1 = 0, y su solución es el famoso número áureo:

Φ = (1 + √5) / 2

¡Ahora es tu turno! 🚀

1. Aproxima el valor de 'e' usando la fórmula de sumas.

Procedimiento:

  1. El libro menciona otra fórmula para 'e': e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ....
  2. Recuerda que el factorial (!) significa multiplicar todos los números hasta ese: 4! = 4×3×2×1 = 24. (Dato clave: 0! = 1).
  3. Calcula cada término hasta n=10:
    • 1/0! = 1/1 = 1
    • 1/1! = 1/1 = 1
    • 1/2! = 1/2 = 0.5
    • 1/3! = 1/6 ≈ 0.1666...
    • 1/4! = 1/24 ≈ 0.0416...
    • ...y así sucesivamente hasta 1/10!.
  4. Suma todos esos resultados.

2. El pentágono y el número áureo.

Procedimiento (a, b, c, d):

  1. Demuestra que ΔABC ~ ΔBFA: En un pentágono regular, los ángulos internos son de 108° y los triángulos isósceles que se forman (como el ΔABC) tienen ángulos de 36°, 72° y 72°. Al trazar las diagonales, puedes demostrar por ángulos que el triángulo grande (ΔABC) y el pequeño (ΔBFA) son semejantes (tienen los mismos ángulos).
  2. Demuestra que ΔBCF es isósceles: Calculando sus ángulos internos, verás que ∢CBF = ∢BFC = 36°, lo que significa que es isósceles y, por lo tanto, FC = BC.
  3. Demuestra que FA = a – 1: La diagonal completa es AC = a. Como vimos que FC = BC, y el lado del pentágono es 1 (BC = 1), entonces FC = 1. Por lo tanto, el trozo que queda es FA = AC – FC = a – 1.
  4. Demuestra que a = 1 / (a-1): Por la semejanza del paso (a), establecemos una proporción entre los lados de los triángulos: AC/AB = AB/FA. Reemplazando con los valores que conocemos: a/1 = 1/(a-1).

e) Encuentra el valor de 'a' (la diagonal).

Procedimiento:

  1. Toma la ecuación del paso anterior: a = 1 / (a-1).
  2. Multiplica para quitar la fracción: a(a-1) = 1.
  3. Desarrolla y ordena: a² – a = 1 => a² – a – 1 = 0.
  4. ¡Es la misma ecuación del número áureo! Resuélvela con la fórmula cuadrática para encontrar el valor de 'a'.